Differential Equation

\(I = [-1, 1]\)위에 함수 \(T_0(x)\)가 주어져 있습니다. \(T_0(-1) = T_0(1) = 0\), 그리고 \(x \ne 0\)에 대해 \(T_0(x) > 0\)를 만족한다고 하겠습니다. 이는 길이가 \(2\)인 쇠막대기의 온도를 함수로 표현한 것으로 볼 수 있습니다. Heat equation (열 방정식)은 시간이 지남에 따라 쇠막대기 온도가 어떻게 변하는지를 서술합니다.

Definition - Heat Equation

Heat equation은 다음과 같이 정의합니다.

\[ \frac{\partial T}{\partial t}(x, t) = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x, t) \quad (x,t) \in I \times (0, \infty). \]

만약 \(T(-1,t) = T(1, t) = 0\)라는 boundary condition, 그리고 \(T(x, 0) = T_0(x)\)라는 조건을 고려한다면, 위 열 방정식은 쇠 막대기 끝의 온도가 \(0\)으로 고정, 외부와 온도를 주고받지 않으며, 시간이 \(0\)일 때 온도의 분포가 \(T_0(x)\)로 주어진 쇠 막대기의 \(t\)초 후 온도 분포를 예측하는 방정식이 됩니다. 좌변에는 온도 분포의 시간에 따른 변화가, 그리고 우변에는 온도 분포의 공간에 따른 미분이 있습니다. 이 등식을 미분방정식 (편미분이 있으므로 편미분방정식)이라고 하고, 미분방정식을 만족하는 \(T\)를 미분방정식의 해라고 합니다.