Review: Attributable risk from distributed lag models

Author: Antonio Gasparrini and Michela Leone

Journal: BMC Medical Research Methodology (2014)

Suggested prerequisite: understanding about the DLNM framework.

요약

multi-exposure attributable risk 개념을 응용해 attributable risk가 temporal dimension을 반영하도록 개념을 확장함.
이 방법은 특정 exposure range에 대해서 attributable risk를 계산할 수 있다는 장점도 가지고 있음.

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소개

온도-사망 관계에 대해 탐구하고 있다. (일반적으로 exposure-risk relationship) 이런 관계를 탐구하는 이유중에 하나로 시민들을 보호할 수 있는 보건정책의 평가 및 계획을 들 수 있다. 그 과정에서 attributable risk라는 값이 중요하게 여겨진다고 하는데, 이 값은 이 논문 이전까지 temperature-mortality의 delayed-effect를 고려하지 않아 수정이 필요한 상황이었다. 이 논문에서는 attributable risk를 delayed-effect를 고려하면서 forward, backward 시점으로 나누어 확장했다. 어떻게 확장했는지 살펴보기에 앞서 기초가 되는 개념들을 먼저 살펴보자.

Risk

앞서 요약한 논문들 (DLNM, multivariate meta analysis)은 결과적으로 relative risk (RR)를 잘 추정하기 위한 방법들이다. RR은 \(x\)만큼 노출되었을 때 야기되는 사망자 수를 reference 값 만큼 노출되었을 때 야기되는 사망자 수로 나눈 값이다. 주로 reference 값은 사망자 수가 가장 적게 나오는 값으로 정하므로, RR은 1과 같거나 큰 경우가 많다.

Attributable fraction (AF)는 \(1-\exp(-\log RR)\)로 정의된다. 풀어 쓰면 \(1-1/RR\)이 되는데, RR의 정의에 따라 이 값은 결과적으로 \(x\)만큼의 노출로 야기된 reference에 비해 초과된 사망자 수를 \(x\)만큼 노출되었을 때 야기되는 사망자 수로 나눈 값이다. \(log RR\)의 값이 0과 같거나 큰 경우가 많으므로 AF은 보통 0과 1 사이의 값을 가지게 된다. Attributable number (AN)는 AF에 exposure에 의해 발생한 사망자 수 (RR의 분자)를 곱해준 값으로 초과된 사망자 수를 나타낸다.

RR대신 AF을 써서 얻을 수 있는 장점에 대해서는 더 찾아봐야 한다. 일단 받아들이고 정리를 계속한다.

위에서 정의한 AR은 exposure의 종류가 한가지인 경우고, multi-exposure AF은 \(1-\exp(-\sum_i \beta_i)\)로 정의된다. (단, \(\beta_i = \log RR _i)\) 여기서 \(i\)는 exposure의 종류를 나타내주는 index이다.

extended definition

Multi-exposure AF에서 각 \(\beta_i\)에 lagged RR을 대입해주면 확장이 끝난다. 다만 lagged RR로 대입할 수 있는 값이 두가지가 있고 이 값의 종류에 따라 forward, backward 시점이 갈린다. 먼저 forward 시점부터 살펴보자. \(t\)는 현재 날짜를 나타내는 변수이고, \(x(t)\)는 exposure level이다.

Forward AF (\(f-AF_t\))는 지금 exposure \(x\)가 \(L\)일 동안 야기할 사망자 수에 관한 attributable fraction이다. 따라서 \(\beta_i\)에 대입되는 값으로 \(\log RR_{x(t), l}\), \(l = 0, \cdots, L\)가 적당하다. 참고로 overall RR curve는 \(RR_{x(t), l}\)을 \(l\)에 대해 모두 더해서 그린다. Forward attributable number (f-AN)는 f-AF에 해당 기간동안 exposure에 의해 발생한 사망자 수를 평균내서 곱해준 값이다.

Backward AF (\(b-AF_t\))는 지난 \(L\)일 동안의 exposure가 오늘 야기할 사망자 수에 관한 attributable fraction이다. 그러므로 \(\log RR_{x(t-l), l}\), \(l = 0, \cdots, L\)을 \(\beta_i\)자리에 대입하면 알맞다. 해당 RR들은 DLNM fitting 과정에서 얻을 수 있다. Backwward attributable number (b-AN)는 b-AF에 \(x(t)\)에 의해 발생한 사망자 수를 곱해서 얻어진다.

확장한 방법은 보았듯이 상당히 간단하다. 과거에 발생한 exposure의 delayed-effect를 다른 종류의 exposure로 여기거나 (backward), 현재 exposure level의 lagged-effect를 다른 종류의 exposure로 여겨서 (forward) 확장되었다. \(\log RR\)끼리 더하지 말고 그냥 \(RR\)끼리 더하면 무슨 변화가 있을 지 궁금하다.

separating attributable components

관심있는 exposure level의 range를 \(r = [l, h]\)라고 하면 해당 range에 관련된 attributable risk는 \(\beta_l\)자리에 \(I(x_{t-l} \in r) \beta_l\) 를 대입하면 된다. 다만 f-AF의 경우 exposure level이 정해져 있기 때문에 항상 0 또는 원래의 값이 나온다. 따라서 range를 분리시킬 경우 분리된 f-AF 값들의 합은 원래 f-AF값이 된다. b-AF의 경우 제한된 범위의 과거 exposure level들이 야기하는 초과된 사망자수의 fraction으로 해석할 수 있다.

total attributable risk

Total attributable number (t-AN)는 attributable number들을 각 날짜에 대해 모두 더해서 얻고, total attributable fraction (t-AF)는 t-AN을 각 날짜별 exposure에 의해 발생한 사망자수의 합으로 나눠서 얻는다. 이 값은 forward, backward, 그리고 separated component에 대해서 모두 계산할 수 있다. 특히 온도-사망 관계에서 (mild, extreme) cold or hot을 separated component로 나누어서 어떤 component가 가장 risky한지 관찰할 수 있다. (Table 2 of the paper)

confidence interval

uncertainty를 보기 위해 confidence interval을 계산하고 싶지만 잘 알려진 anlytic formula가 없다. 따라서 Monte-Carlo simulation을 통해서 신뢰구간을 보게 된다. DLNM coefficient \(\eta\)에 다변수 정규분포 가정을 한 후 (평균과 분산으로 estimated coefficient, covariance matrix) random sampling을 통해 AR을 계산한다. 여기서 (2.5, 97.5) percentile을 신뢰구간으로 잡는다. (eCI)

마치며

논문에 있던 어떤 inequality 그리고 backward AF와 overall cumulative RR의 차이를 통해 harvesting effect를 설명하는 부분은 잘 이해되지 않았는데, 다시 읽어볼 필요가 있다. 굵은 글씨로 입력해둔 부분과 AR이 RR에 비해 좋은 점을 추가로 탐구해서 이해를 높이도록 해보자.

Reference

Gasparrini, A., Leone, M. Attributable risk from distributed lag models. BMC Med Res Methodol 14, 55 (2014). https://doi.org/10.1186/1471-2288-14-55